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CONTROLLO
tecnica
Novembre/Dicembre 2016
Automazione e Strumentazione
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lità emerge, il quadro generale si fa più nitido, si scoprono nuove
relazioni tra le cose; magari non si arriverà mai a spiegare tutto
ma, come sostenne, C. F. Gauss: “Non è la conoscenza, ma l’atto
di imparare; non il possesso ma l’atto di arrivarci, che dà la gioia
maggiore”. Ma forse ai giovani studenti risulta più familiare ciò
diceva Morpheus a Nio, nel celebre film Matrix: “Pillola azzurra,
fine della storia: domani ti sveglierai in camera tua, e crederai a
quello che vorrai. Pillola rossa, resti nel Paese delle meraviglie e
vedrai quant’è profonda la tana del bianconiglio”.
La matematica del controllo
L’obiettivo di un’azione di regolazione (o di controllo) può essere
definito come quello di cercare di portare un sistema a compor-
tarsi in un modo desiderato sulla base delle misure del suo stato
attuale ed agendo in modo opportuno. Il controllore deve comun-
que, ad ogni istante e sulla base dell’informazione disponibile,
determinare il valore da attribuire alle variabili di controllo in
modo tale che l’andamento delle variabili controllate sia, mal-
grado l’influenza di disturbi imprevedibili, il più possibile simile
a quello desiderato, che può a sua volta essere una funzione del
tempo e/o di altre grandezze. Lo scopo di un buon sistema di con-
trollo è allora quello di portare a zero l’errore a regime, di farlo nel
minor tempo possibile, limitando al massimo l’entità degli scosta-
menti della variabile controllata intorno al valore di riferimento e
cercando di contenere anche le oscillazioni della variabile di con-
trollo, che si ripercuotono sugli organi di comando. Un sistema di
controllo dovrebbe essere inoltre in grado di garantire sia un buon
inseguimento dell’andamento desiderato sia una buona reiezione
dei disturbi nel più ampio ventaglio possibile di situazioni opera-
tive ovvero per il più ampio intervallo di valori dei parametri che
descrivono il processo da controllare. La ‘robustezza’ di una legge
di controllo è una misura proprio della capacità di far fronte alle
diverse condizioni di lavoro garantendo le prestazioni desiderate.
L’impostazione ‘classica’ del problema si basa su relazioni ingresso-
uscita dei sistemi dinamici che descrivono il comportamento dei
regolatori e quello dei processi, desunto dalle leggi fisiche applica-
bili al contesto (meccanico per la robotica, termodinamico e chimico
per il processo). Queste relazioni vengono efficacemente modelliz-
zate dalle funzioni di trasferimento (rappresentate nel formalismo
degli schemi a blocchi), definite come il rapporto tra la
trasformata
di Laplace
dell’uscita corrispondente a condizioni iniziali nulle e
la trasformata di Laplace dell’ingresso. Grazie all’introduzione di
questo strumento matematico (un integrale in campo complesso),
le prestazioni del sistema controllato possono essere tradotte in
requisiti sulle funzioni di trasferimento e su alcuni parametri intro-
dotti grazie ad esse. La stabilità del sistema deve venire assicurata
soddisfacendo i criteri di Nyquist o di Bode, che fanno riferimento
ai rispettivi diagrammi; per quello Nyquist si tratta di quello nel
piano complesso della funzione di trasferimento d’anello (data dal
prodotto tra quella del processo e quella del regolatore) mentre per
quelli di Bode si tratta di modulo e fase (numeri reali) della fun-
zione di trasferimento d’anello. La precisione a regime deve venire
garantita dal tipo (il numero di poli nell’origine) e dal guadagno
della funzione di trasferimento d’anello. Il buon inseguimento del
setpoint può venire perseguito attraverso una accorta scelta della
pulsazione critica (quella per cui il modulo della funzione di trasfe-
rimento d’anello vale 1) che però non deve essere nemmeno troppo
elevata per non impedire di filtrare i disturbi ad alta frequenza tipi-
camente presenti nella catena di misura. La robustezza può venire
preservata attraverso opportuni vicoli sui alcuni parametri (i margini
di fase o di guadagno) che misurano la distanza del diagramma di
Nyquist dalla regione di instabilità. La moderazione nelle escursioni
della variabile di controllo, infine, può essere ricercata mantenendo
il modulo della funzione di trasferimento del regolatore limitato per
pulsazioni superiori a quella critica. I metodi classici hanno consen-
tito di raggiungere notevoli risultati sia teorici sia applicativi; non
ultima, infatti, la standardizzazione rappresentata dai fortunati algo-
ritmi di tipo PID (Proporzionale-Integrale-Derivativo), concepiti
nell’ambito delle tecnologie pneumatiche e tuttora alla base degli
attuali sistemi elettronici di controllo. Tutto ciò è stato possibile
attraverso calcoli fatti su carta e grazie a preziosi strumenti come
il regolo calcolatore; tuttavia questo approccio rimane sostanzial-
mente limitato al caso lineare e tempo-invariante, venendo meno,
altrimenti, la possibilità di far uso di funzioni di trasferimento; arduo
estendere la trattazione ai sistemi multivariabili; complicato, infine,
stabilire criteri di ottimalità della soluzione, a causa del conflitto dei
requisiti indipendenti sulle prestazioni (tipici quelli tra rapidità e
robustezza e tra inseguimento del setpoint e reiezione dei disturbi).
L’approccio dell’impostazione ‘moderna’ si basa sul fatto che lo
stato del sistema sotto controllo contiene tutta l’informazione neces-
saria per determinare, insieme al valore futurodegli ingressi (e ovvia-
mente a quello del segnale di riferimento), il comportamento futuro
del sistema stesso. L’analisi dei sistemi dinamici (cosiddetti perché
nelle equazioni compaiono anche le derivate rispetto al tempo delle
incognite) consente di prevederne l’evoluzione e si avvale di vari
strumenti matematici come ad esempio i
teoremi di Liapunov
per
la stabilità; in condizioni lineari (e tempo-invarianti) si perviene a
calcoli sul determinante e gli autovalori delle matrici numeriche che
rappresentano il sistema dinamico. Impostando il problema attra-
verso un criterio di ottimizzazione si affronta il cosiddetto ‘controllo
ottimo’, basato in generale sulla
teoria di Hamilton-Jacobi
, a sua
volta fondata su equazioni di Eulero-Lagrange da risolvere quando
si vuole minimizzare (o massimizzare) una certa funzione soggetta
a vincoli di tipo algebrico. Nel caso di sistema lineare e funzioni di
costo di tipo quadratico, si perviene alla soluzione delle
equazioni
(differenziale nel caso t-variante o algebrica nel caso stazionario)
di Riccati
(una particolare equazione differenziale ordinaria in cui
l’incognita compare anche al quadrato). Poiché però in genere lo
stato non è disponibile, è necessario effettuarne una ‘valutazione’;
tale compito, in ambiente deterministico, viene espletato da un
‘ricostruttore’ (filtro - dello stesso ordine del sistema - dello stato
a partire dall’uscita) mentre in ambito stocastico viene svolto attra-
verso un filtro di Kalman (un ricostruttore ‘ottimo’ rispetto all’er-
rore quadratico stimato). Anche in tal caso, cercando lo stimatore
‘ottimo’ (ovvero a minima varianza dell’errore di predizione) si
ritrova l’equazione di Riccati. Attraverso l’impostazione moderna,
basata su una descrizione ingresso-stato-uscita del sistema, risulta
più agevole affrontare problemi di controllo multivariabile e/o
non lineare e anche incorporare nel problema eventuali relazioni
di vincolo sul valore ammissibile di alcune variabili in gioco (di