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CONTROLLO
tecnica
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Automazione e Strumentazione
Ottobre 2017
male, se ne trovano sempre infiniti altri. Come si legge nel
Libro
di sabbia
di
J.L. Borges
“
… tra il frontespizio e la mano c’erano
sempre varie pagine. Era come se spuntassero dal libro
”.
Destino simile è quello del limite: proseguendo per
n
sempre più
grande, la successione si avvicina sempre più al suo valore limite
ma attraverso il contributo di cifre decimali sempre meno signifi-
cative. La differenza tra i due valori può essere piccola a piacere.
Questo è il motivo per cui per le rette a cui le funzioni tendono
è stato scelto il nome di asintoti, che in greco significa ‘che non
si incontrano’. Nel nostro caso degli interessi bancari il valore di
tale limite risulta
e
k
.
Irrazionale ma… naturale
Un importantissimo limite è quello rappresentato dalla
cosiddetta derivata di una funzione
f(x)
, definita appunto
come limite di un particolare rapporto, detto incremen-
tale: anche in questo caso la definizione farebbe pensare
a una forma indeterminata e invece spesso si trova un
risultato finito che indica in qualche modo la tendenza
locale della funzione: chi preferisce una visualizzazione
geometrica la associa immediatamente al coefficiente an-
golare della retta tangente nel punto di ascissa
x
. Sir
Isac
Newton
, che all’inizio del XVIII secolo per primo aveva
già introdotto il concetto, la chiamava
flussione
in riferi-
mento alle quantità variabili che invece chiamava
fluenti
;
fu infatti il tedesco
Gottfried W. Leibniz
, che sviluppò
l’idea indipendentemente dallo scienziato inglese, ad in-
trodurre la terminologia e anche parte della simbologia
che tuttora impieghiamo.
Applicando la definizione di derivata alla funzione espo-
nenziale
e
x
, si scopre che la sua derivata vale ancora
e
x
. La funzione
esponenziale è dunque l’unica la cui variazione è proporzionale a
se stessa e se la base è il numero
e
allora essa è proprio uguale
(altrimenti con
b
x
il risultato sarebbe
ln(b)b
x
). È questo il motivo
per cui le variazioni esponenziali sono così rapide: per quanto pic-
colo sia l’incremento della variabile indipendente, la grandezza
varia cioè proporzionalmente al suo stesso valore attuale. Più il
valore è elevato e più rapidamente quindi aumenta giungendo pre-
sto a valori elevatissimi. Lo stesso vale dunque per tutte le derivate
successive conferendo alla funzione
e
x
una certa natura
frattale
,
ovvero la caratteristica di essere auto-simile (uguale a sé stessa per
ogni fattore di scala).
Dualmente alla derivata, un altro limite di capitale importanza
è rappresentato dal limite di una somma di infiniti termini a cui
diamo il nome di integrale. Geometricamente esso esprime l’area
sottesa tra la funzione e l’asse orizzontale, limitatamente alla sua
parte compresa tra gli estremi dell’intervallo di integrazione. Innu-
merevoli sono le sue applicazioni nella fisica: si pensi ad esem-
pio al lavoro di una forza, alla totalizzazione di una portata, alla
valutazione del flusso di un campo elettrico. Un processo di inte-
grazione si rende necessario per risolvere quelle che si chiamano
equazioni differenziali, ovvero equazioni in cui figura anche la
derivata - almeno la prima - dell’incognita. Tra le più facilmente
risolvibili per quadrature ci sono le equazioni differenziali line-
ari che sono quelle in cui la funzione incognita e le sue derivate
figurano sempre con esponente pari ad 1. Dal momento in cui la
dinamica esponenziale è in agguato ogni volta che una grandezza
varia proporzionalmente a se stessa, le soluzioni di ogni equazione
differenziale lineare sono infatti sempre funzioni di tipo espo-
nenziale; è proprio questo il motivo per cui in numero e risulta
comparire nella descrizione di molti fenomeni naturali. Si pensi
alla spirale logaritmica (il raggio è funzione esponenziale dell’an-
golo) che si trova nella morfologia di alcuni vegetali (cavolfiori,
girasoli), nel guscio di alcuni molluschi, nell’andamento di certe
perturbazioni atmosferiche e nella geometria di molte galassie.
Notevole anche la presenza della funzione esponenziale nella rap-
presentazione che abbiamo della spontaneità degli eventi fisici.
Avendo definito l’entropia di un sistema attraverso il logaritmo
del numero dei suoi possibili macro-stati, si perviene al risultato
secondo cui più uno stato risulta disordinato e più spontaneamente
viene raggiunto: l’aumento dell’entropia è infatti funzione espo-
nenziale crescente del numero di configurazioni possibili asso-
ciate a quello stato. Questa tendenza spontanea al disordine com-
porta che per mantenere l’ordine sia necessario compiere lavoro e
risulta pertanto all’origine delle ragioni dell’invecchiamento delle
strutture molecolari basate sul metabolismo, quali noi stessi siamo.
Risvolti nel controllo
La realtà che ci circonda obbedisce a leggi fisiche note che riguar-
dano grandezze come forze, velocità, temperature ecc. Quando le
leggi riguardano non solo lo stato delle cose (come la statica o la
scienza delle costruzioni) ma l’evolversi delle situazioni, allora le
leggi coinvolgono non solo le grandezze fisiche ma anche le loro
derivate. Per questo motivo i modelli che si costruiscono fanno
uso di equazioni differenziali e sono detti pertanto sistemi dina-
mici, eventualmente vincolati da altre relazioni algebriche che le
variabili in gioco devono soddisfare.
Si consideri ad esempio il semplice caso di una massa
m
in caduta
libera sotto l’effetto della gravità terrestre (g=9,81 m/s
2
). A causa
dell’attrito viscoso dell’aria, al moto si oppone una forza proporzio-
Figura 2 - La crescita naturale secondo una spirale logaritmica