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CONTROLLO
tecnica
Ottobre 2017 Automazione e Strumentazione
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Durante gli anni della formazione scolastica apprendiamo alcune nozioni che poi tendiamo a seppellire
dimenticandoci di quanto basate su di esse siano varie nostre assodate conoscenze. È il caso del
concetto di limite, alla base dell’analisi matematica e spesso presente per chi si occupa di controllo.
Massimiliano Veronesi
Spingersi al limite
Siamo arrivati al punto in cui per lasciare il nostro
denaro nelle banche quasi bisogna pagare; tut-
tavia supponiamo di avere investito una certa
somma S sulla quale ci viene riconosciuto un inte-
resse annuo pari al k%; ciò significa che l’anno
successivo avremo a disposizione una somma
pari a S(1+k), esprimendo in tal caso k con un
numero compreso tra 0 e 1; l’anno dopo ancora
avremo S(1+k)2 e così via. Se l’interesse annuale
ci venisse riconosciuto mensilmente dopo un
anno avremmo invece S(1+k/12)12 e se lo fosse
giornalmente S(1+k/365)365. Ci si può domandare
cosa succederebbe se esso fosse ‘istantaneo’ ma
in tal caso occorre valutare il valore della quan-
tità S(1+k/n)n per nĺ∞, facendo quello che si
usa dire ‘passaggio al limite’. Le prime tracce di
studio intorno alla convergenza di questa succes-
sione si trovano in alcuni scritti di Jacob Ber-
noulli (1654-1705), celebre matematico e fisico
ed esponente di una famiglia che forse più di ogni
altra ha regalato talenti alla scienza.
Strano destino quello della quantità (1+1/n)n. Da
un lato si sarebbe portati a pensare che, per nĺ∞,
essa debba valere 1: infatti 1/n diventa sempre più
piccolo e quindi quello che viene elevato a n è
sostanzialmente 1 (che elevato a qualsiasi cosa fa
sempre comunque 1). Dall’altro però (1+1/n) non
è mai esattamente pari a 1 ed è noto che in tal ca-
so elevando la quantità ad un esponente a sua volta
maggiore di 1, il risultato diverge verso infinito.
Come spesso accade
in questi casi, che ap-
punto vengono detti
forme indeterminate, si
verifica un conflitto tra
due tendenze opposte,
un conflitto che viene
risolto solo attraverso il
concetto di limite. Per
nĺ∞ le due tendenze
contrarie trovano un
compromesso che in questo particolare, ma fonda-
mentale, caso ha un valore non esprimibile come
rapporto (dal latino ratio) di altri due numeri interi
e pertanto deve essere classificato tra i numeri non
razionali ovvero ‘irrazionali’, un valore che non
possiamo esprimere con un numero finito di cifre
decimali e nemmeno con un numero finito di cifre
decimali che si ripete periodicamente, un valore
che tuttavia risulta limitato e che il grande Leonard
Euler ha deciso di indicare con la lettera e.
È l’essenza stessa dell’incommensurabilità che
rende i numeri irrazionali così sfuggenti e inaf-
ferrabili e che mise in imbarazzo i pitagorici
quando scoprirono che tale era la natura della
misura della semplice diagonale di ogni quadrato.
A differenza della M2, il numero e non si riesce
nemmeno ad ottenere come soluzione di una
equazione algebrica a coefficienti razionali. Per
questo motivo esso entra nella speciale categoria
dei numeri irrazionali ‘trascendenti’ (per questo
risultato si è però dovuto attendere Charles Her-
mite, nella seconda metà del XIX secolo). Questa
inafferrabilità è indissolubilmente connessa con
la non numerabilità dei numeri reali i quali non
possono essere contati; a differenza dei numeri
interi (e anche di quelli razionali, anche se è meno
intuitivo) che possono essere sempre essere messi
in successione, per i numeri reali ciò non risulta
possibile: tra due di loro, per quanto vicini tra
loro, pur di spostarsi a destra dopo il punto deci-
GLI AUTORI
M. Veronesi, Direttivo Anipla
UNA PREMESSA STORICA E MATEMATICA AL PROBLEMA DEL CONTROLLO
Figura 1 - L’asse reale visto da uno studente