Maggio 2014
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Automazione e Strumentazione
CONTROLLO
tecnica
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riassestamento non può essere evitato e quindi valutare il valore
dello
IAE
diventa significativo.
Nell’ambito dei problemi di inseguimento una soluzione pratica
consiste nel sintonizzare il regolatore PI(D) in modo da cancellare
i poli del processo (rappresentato da una funzione di trasferimento
al massimo del secondo ordine), con il guadagno proporzionale
pari a
K
p
=T
i
/(kT
c
)
, in modo, nel caso di processi in cui il ritardo
sia trascurabile, da ottenere tra il riferimento e la variabile da con-
trollare una funzione di trasferimento in anello chiuso del primo
ordine con costante di tempo pari proprio a
T
c
. In generale quindi
si possono quindi ottenere risposte in anello chiuso più rapide e
nervose di quella del sistema in anello aperto se
T
c
<T
e, viceversa,
più lente e smorzate se
T
c
>
T
. Una frequente scelta è dunque quella
di prendere
T
c
=T
; l’analisi non può essere formalmente traslata
tale e quale per i sistemi con ritardo ma si può ragionevolemente
sostenere che in tal caso risultati analoghi si hanno per
T
c
=L+T
.
La sovraelongazione successiva al repentino ritorno a zero dell’er-
rore potrebbe essere indesiderata. In tal caso è possibile ridurla
impiegando un guadagno
K
ff
<(μ/k)
. L’analisi della risposta teo-
rica relativa alla funzione di trasferimento
T(s)
, mostra che essa
è data dalla somma algebrica di due componenti, la prima dovuta
all’influenza del disturbo e la seconda dovuta all’intervento del
compensatore; la sovraelongazione è dovuta al fatto che a un certo
punto del transitorio la seconda supera in valore assoluto la prima.
Potendo ricavare l’espressione dell’istante in cui ciò accade è pos-
sibile allora anche ricavare il valore di
K
ff
per cui tale istante tende
a +
'
: Ciò risulta effettivamente possibile ancora una volta quando
per il regolatore PID viene scelta una taratura del tipo precedente,
impiegando la quale il valore ricercato per il guadagno del com-
pensatore risulta essere:
ove
Essendo in tal caso infatti
Sostituendo il ritardo a denominatore con la sua approssimazione
di Taylor del primo ordine
e
-sL
≈(1-sL)
si ottiene
L’errore evolve allora secondo la dinamica
che risulta cambiare segno per
Il valore ricercato per
K
ff
è allora quello indicato per cui
t
cross
A
+
'
(si noti che quando
o
<T
x
è il valore che rende nullo il
numeratore di
t
cross
mentre per
o
>T
x
è quello che rende nullo il
denominatore).
Quando
o
=T
x
non si possono scrivere le stesse espressioni ma il
valore di
K
ff
risulta infine lo stesso
In tal caso, essendo le sovraelongazioni virtualmente eliminate,
lo IAE può essere valutato attraverso il teorema del valor finale,
risultando in
IAE=IE=A
d
(μ+kK
ff
)(L+T)
.
Un compensatore più efficace è quello proposto in
[4]
, ove, trascu-
rando l’azione del controllore in retroazione, si riesce a determi-
nare analiticamente il valore dello
IAE
in funzione dei parametri e
quindi si ricava (numericamente) il valore della costante di tempo
T
p
che lo rende minimo (almeno in un certo range). La metodolo-
gia risulta nella seguente regola di taratura:
Benchè ottenuta assumendo trascurabile l’azione del controllore in
retroazione rispetto a quella del compensatore in avanti, la tecnica
si rivela generalmente efficace per una vasta classe di processi.
Dato che l’azione in anello aperto comporta un picco iniziale nella
variabile di controllo, dato da
una volta ridotto
T
p
occorre ridurre anche
K
ff
ricalcolandolo in
K
ff
=
μ
T
p
/(k
o
)
; in
[4]
si va però oltre, proponendo un valore di
K
ff
che consenta di sottrarre dall’azione in anello aperto la variazione
di cui risentirà l’uscita del PID, pari a
in modo da ridurre la sovraelongazione iniziale; determinando
analicamente il valore dell’integrale dell’errore si riesce dunque
a calcolare la correzione da apportare alla variabile di controllo e
quindi quella per il guadagno del compensatore, che risulta:
Una compensazione ancora migliore si ottiene inserendo nell’ar-
chitettura di controllo un ulteriore blocco come suggerito in
[5]
e
illustrato nella
υ
figura 2
.
^
υ
