AS_08_2020

tecnica Automazione e Strumentazione Novembre/Dicembre 2020 91 CONTROLLO sel Crowe) ce n’è anche uno applicabile a questo nostro problema. Il trade-off tra reattività e robustezza può essere visto come un fronte di Pareto al di sotto del quale entrambi gli obiettivi ven- gono raggiunti in modo peggiore e al di sopra del quale si trovano punti irraggiungibili con il -tuning : per questo motivo il punto ideale in cui sia la reattività che la robustezza sono elevate può essere chiamato ‘utopia-point’ e il suo simmetrico (rispetto al fronte di Pareto) ‘disagreement-point’. Il compromesso suggerito da Nash è il punto sul fronte di Pareto che massimizza l’area del rettangolo (uno spazio n-dimensionale , nel caso generale in cui le variabili decisionali siano n ) che ha per vertice opposto il disagreement-point: la υ figura 1 rappresenta il concetto. Calcolando questa area in funzione di c e annullandone la derivata prima (la seconda è sempre negativa) si perviene dun- que al valore di c , e quindi di , che la minimizza. Risparmiando al lettore i passaggi che si possono trovare nel riferimento indicato in bibliografia, si ricavano i seguenti risultati: - Trade-off tra pulsazione critica e margine di fase - Trade-off tra pulsazione critica e margine di guadagno In questo modo, a partire degli auspicabili target di reattività ( c u ) e di robustezza ( ij m u oppure m u ) , impossibili da ottenere contempo- raneamente, si determina il miglior compromesso ricavabile con il -tuning . Ad esempio, relativamente ad un processo con guadagno e ritardo unitari, impostando utopia-point di coordinate ( c u =0.5/ ș , ij m u =π/3) , si ottiene o =0.954 , corrispondente a un Nash-point di coordinate ( c o =0.5118, ij m o =1.059) ; impostando utopia-point di coordinate ( c u =2/ ș , m u =10), si ottiene o =0.7841, corrispon- dente a un Nash-point di coordinate ( c o =0.5605, m o =2.8025). La υ figura 2 riporta i transitori ottenibili. Trade-off driven tuning Una misura della reattività del regolatore può essere anche effica- cemente rappresentata dall’integrale dei valori assoluti dell’errore (o deviazione, data dalla differenza tra il setpoint e la variabile di processo), normalmente indicato con IAE. Analogamente, la robu- stezza può essere altrettanto efficacemente espressa attraverso il massimo valore (M s ) della funzione di sensitività, pari all’inverso della minima distanza del diagramma di Nyquist dal punto critico (-1, 0) . Si ricorda che i margini di fase e di guadagno sono limitati inferiormente da alcune semplici disuguaglianze sulla destra delle quali c’è una funzione di M s . In tal caso si può allora introdurre un criterio complessivo di prestazione Ove i fattori di normalizzazione IAE 0 =2A s ș (con A s l’ampiezza della variazione a scalino del setpoint) M s 0 =1.2 sono introdotti per avere un valore di J che indica una prestazione tanto più buona quanto più di avvicina (da destra) a 1, mentre il coefficiente di peso w serve per orientare la preferenza verso la reattività ( w elevato) o la robustezza ( w basso). Con l’occasione si può anche segna- lare che il minimo IAE si ottiene (con la precisione di una sola cifra decimale) per =0.7 ș mentre per >1.5 ș non si hanno più sovraelongazioni e quindi IAE vale quanto IE=A s T i /μK p =A s ( + ș ), ottenibile da teorema del valore finale. Fissato il valore di w , facendo variare il parametro Į = / ș è possi- bile ottenere una curva di punti nel piano IAE÷M s ; nel medesimo piano J rappresenta un fascio di rette la cui pendenza dipende da w (a parte i fattori di normalizzazione). È chiaro allora che il più basso valore di J si otterrà con il valore di Į che consente di otte- Figura 1 - L’equilibrio di Nash Figura 2 - Transitori ottenuti attraverso l’equilibrio di Nash