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Automazione e Strumentazione n Maggio 2024 Tecnica 97 PILLOLE DI AUTOMAZIONE Se proviamo a simulare questo circuito utilizzando il modello di deviatore sopra descritto con molta probabilità otterremo un errore dal solutore nume- rico (il tipo di errore può variare da solutore a solu- tore), questo perché l’induttore nel ramo di scarica è descritto dall’equazione costitutiva: che contiene la derivata della corrente circolante nel ramo di scarica, quindi richiede ben precise condi- zioni di continuità sulla corrente che lo attraversa. In altre parole, l’induttore è un componente ‘dinamico’ con uno stato proprio che non può cambiare in modo discontinuo (la corrente che lo attraversa) e che deve essere sempre ben determinabile in ogni configura- zione del modello. Questa condizione non è soddi- sfatta durante la transizione del deviatore dalla posi- zione 1 alla posizione 2, che di fatto lascia ‘appeso’ il ramo che contiene l’induttore. Supponiamo di partire da una condizione in cui il deviatore è in posizione 1 e c’è corrente circolante nella maglia di scarica, la tensione a cavallo dell’induttore è proporzionale alla derivata di tale corrente, come indicato dall’e- quazione costitutiva. Se spostiamo il deviatore nella posizione due il modello condizionale attiva l’equa- zione ‘Id1=0’ , quindi impone una variazione a gra- dino della corrente circolante nell’induttore, la cui derivata quindi tende a infinito (questo ad esempio è il motivo per cui nei relè viene messo un diodo di scarica in parallelo alla bobina, in modo che in caso di apertura del circuito di alimentazione la bobina possa scaricarsi attraverso il diodo e la sua corrente si porti a zero con un transitorio decrescente in modo continuo). Il solutore numerico normalmente non riesce a trattare transitori in cui le derivate tendono ad infinito (a meno di solutori particolari progettati a questo scopo) quindi la simulazione fallisce. Senza scendere troppo nei dettagli, lo stesso problema si presenta anche nel caso in cui la corrente sia nulla al momento della commutazione del deviatore, questo perché a seconda di come il sistema di equazioni è stato risolto potrebbero generarsi delle condizioni di indeterminazione del tipo ‘zero diviso zero’ . Per quanto riguarda il condensatore, anch’esso ha una equazione costitutiva che contiene una derivata: ma il resistore di carica in serie al condensatore com- pensa il gradino di tensione che si verifica alla chiu- sura dell’interruttore (o alla commutazione del devia- tore) permettendo alla tensione del condensatore di variare con continuità e quindi mantenendo limitata la sua derivata. Questa compensazione (algebrica) trova riscontro nella fisica ed è la causa della discon- tinuità nella corrente di carica del condensatore (cfr. figura 3 e figura 6 ). In conclusione, per garantire l’in- tegrabilità di un sistema DAE che contenga modelli condizionali bisogna garantire che la commutazione tra i vari rami della parte condizionale avvenga man- tenendo la continuità delle variabili (e almeno delle loro derivate prime) coinvolte nel passaggio da un ramo ad un altro. Se questa condizione non è rispet- tata (come nei modelli qui illustrati) la convergenza della soluzione dipende dal tipo di componenti e dalla loro connessione nel sistema complessivo. Conclusioni Nell’ambito della modellazione ai principi primi i modelli condizionali sono uno strumento molto effi- cace per rappresentare i sistemi (o i componenti) che cambiano le loro equazioni costitutive in funzione dei valori assunti da una o più variabili di stato. Il loro utilizzo richiede solutori numerici in grado di gestire gli eventi e la loro robustezza dipende forte- mente dal grado di continuità che si riesce a mante- nere nel sistema in corrispondenza delle commuta- zioni fra i diversi set di equazioni. Sono stati illustrati alcuni semplici esempi di modelli condizionali in cui la continuità non è garantita al passaggio da un set di equazioni ad un altro, mostrando come in questo caso la convergenza dipenda essenzialmente dal tipo di componenti e dalla loro topologia di connessione nel sistema complessivo. Per garantire la continuità dei modelli condizionali agli istanti di commuta- zione, e quindi migliorarne la robustezza in termini di convergenza del sistema complessivo, si possono utilizzare diverse strategie, più o meno complesse, ma questo sarà oggetto di un’altra ‘pillola di automa- zione’. Riferimenti [1] Linda Petzold, “A description of DASSL: A dif- ferential/algebraic system solver”, https://www. researchgate.net/publication/230873291_A_ description_of_DASSL_A_differentialalge- braic_system_solver. [2] Lawrence Livermore National Laboratory, “SUNDIALS: SUite of Nonlinear and DIffe- rential/ALgebraic Equation Solvers”, https:// computing.llnl.gov/projects/sundials. [3] Modelica language, https://modelica.org/lan- guage. [4] OpenModelica suite, https://openmodelica. org/useresresources/tools. n